POJ1185-炮兵阵地-状态压缩DP

1. 为何状态压缩：

    棋盘规模为n*m，且m≤10，如果用一个int表示一行上棋子的状态，足以表示m≤10所要求的范围。故想到用int s[num]。至于开多大的数组，可以自己用DFS搜索试试看；也可以遍历0~2^m-1，对每个数值的二进制表示进行检查；也可以用数学方法（？）

 

2. 如何构造状态：

    当然，在此之前首先要想到用DP（？）。之后，才考虑去构造状态函数f(...)。

    这里有一个链式的限制 ：某行上的某个棋子的攻击范围是2。即，第r行的状态s[i]，决定第r-1行只能取部分状态s[p]；同时，第r行的状态s[i]，第r-1行状态s[p]，共同决定第r-2行只能取更少的状态s[q]。当然，最后对上面得到的候选s[i], s[p], s[q]，还要用地形的限制去筛选一下即可。

    简言之，第r行的威震第r-2行，因此在递推公式(左边=右边)中，必然同时出现r,和r-2两个行标；由于递推公式中行标是连续出现的，故在递推公式中必然同时出现r, r-1和r-2三个行标。由于在递推公式中左边包含一个f(...)，右边包含另一个f(...)，根据抽屉原理，r, r-1, r-2中至少有两个在同一个f(...)中，因此状态函数中必然至少包括相邻两行的行号作为两个维度。这就是为什么状态函数要涉及到两（相邻的）行，而不是一行。能想到的最简单形式如下：

    dp[r][i][p]：第r行状态为s[i]，第r-1行状态为s[p]，此时从第0行~第r行棋子的最大数目为dp[r][i][p]

 

    递推公式：

 

                                                s[p]影响到s[q]的选取

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                  dp[r][i][p]=max{dp[r-1][p][q]}+sum[j], 其中sum[j]是状态s[j]中1的个数

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               s[i]影响到s[p]的选取                 |

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代码：

#include <stdio.h> 
#include <string.h> 
#include <iostream> 
#define MAX(a,b) (a)>(b)?(a):(b) 
using namespace std; 
int dp[105][65][65];	//d[i][j][k]: “第i行状态是s[j]，第i-1行状态是s[k]”的
int s[105];	//一行的状态选择s[0], s[1], ... , s[k-1]
int n,m;	//n行×m列
int k;	//一行的所有状态数
int map[105];	//'H''P'地图map[0]~map[n-1]，地图每一行map[line]: 1001 表示HPPH
int sum[105]; 

/*
	很久就看推荐题目有这个了，一直没做，因为看了好几次没看懂，都说dp，这几天看了状态压缩后明白了，其实就是用
	二进制来表示各个位置的状态然后进行枚举，把状态放进数组里就行，在这里用dp[i][j][k]表示第i行，当前j状态，
	i-1行是k状态时候的最大炮数	dp[i][j][k]=MAX(dp[i][j][k],dp[i-1][k][p]+sum[j])

	CAUTION:
	1. 所有下标均从0开始
	2. m<=10保证了可以用一个int存储一行的状态
*/

//状态s[x]是否造成行冲突
bool ok(int x) 
{ 
    if(x&(x<<1))return false;
    if(x&(x<<2))return false; 
    return true;
} 

//状态s[x]下有多少个1 
int getsum(int x)
{ 
    int num=0; 
    while(x>0) 
    { 
        if(x&1)num++; 
        x>>=1; 
    } 
    return num; 
} 

void find() 
{ 
    memset(s,0,sizeof(s)); 
    for(int i=0;i<(1<<m);i++) //i枚举所有m位的二进制数
    { 
        if(ok(i)) 
        { 
			s[k]=i; 
			sum[k++]=getsum(i); 
        } 
  
    } 
} 
  
int main() 
{ 
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){ 
        memset(dp,-1,sizeof(dp)); 

		int i;
        for(i=0;i<n;i++){ 
             for(int j=0;j<m;j++){ 
				char tmp; 
				cin>>tmp; 
				if(tmp=='H')map[i]=map[i]|(1<<j);//把第i行原始状态取反后放入map[i] 
			} 
        } 

        k=0; 
        find(); 

		//1. 初始化第0行状态（只考虑有效状态，无效状态为-1）
        for(i=0;i<k;i++)
			if(!(s[i]&map[0])) //s[i]为1的位如果对应平原(0)，则&运算后为0
				dp[0][i][0]=sum[i]; 

		//2. 计算第1~n-1行状态（碰到无效状态,continue）
        for(int r=1;r<n;r++) 
        { 
            for(int i=0;i<k;i++)//枚举第r行的状态 s[i]
            { 
                if(map[r]&s[i])	continue;	//通过地形排除部分第r行的状态

                for(int p=0;p<k;p++)	//枚举第r-1行状态 s[p]
                { 
                    if(s[i] & s[p])	continue;	//r与r-1没有想接触的 

                    for(int q=0;q<k;q++)	//枚举第r-2行状态s[q]
                    { 
						 if(s[p] & s[q])	continue;   //Sam：这行是我加的
                         if(s[i] & s[q])	continue;	//r与r-2行没有接触的 

                         if(dp[r-1][p][q]==-1)	continue;	//所有不可能的情形dp[i][j][k]都为-1（初始化的值）
                         dp[r][i][p]=MAX(dp[r][i][p],dp[r-1][p][q]+sum[i]); 
                    }   
                }	
            } 
        }

        int ans=0; 
        for(i=0;i<k;i++) 
			for(int j=0;j<k;j++) 
				ans=MAX(ans,dp[n-1][i][j]); 
        printf("%d\n",ans); 
    } 

	system("pause");
	return 0;
}